venerdì 16 maggio 2014

La congettura del sette

La “congettura del sette” è illustrata da una filastrocca di origine ignota, qui di seguito riportata:

Se al quadrato di qualcosa
tu moltiplichi la stessa
(che sarebbe già fatica 
per la bella studentessa) 

voglio solo che tu dica 
da che numero partire 
se il prodotto di cui sopra 
come inizia va a finire. 

Perché presto tu lo scopra 
ti fornisco un altro dato: 
capo o coda trovi al centro 
sol di uno incrementato; 

coda o capo trovi dentro 
aumentato di unità, 
questo è quello che succede 
in sincera verità. 

Il problema, ti si chiede, 
quante soluzioni ammette? 
perché credo, come chiosa, 
che ci sia soltanto il sette.

Ricapitolando, la poesiola propone sotto forma di indovinello la seguente questione: esiste un solo numero (il 7) il cui cubo (indicato all’inizio come “il quadrato di qualcosa per quella stessa cosa”) è formato da una parte iniziale uguale a quella finale, e al centro contiene la stessa quantità aumentata di uno. Per intenderci, un numero tipo 787 o 121312.
Il cubo di 7 è appunto 343. Ve ne sono altri? La filastrocca afferma di no e chiede una eventuale smentita.
Lascio agli arguti lettori, sicuramente più abili di me, il compito di  dimostrare in maniera rigorosa la congettura o di confutarla con almeno un controesempio. Io, per mio conto, mi sono limitato ad analizzare i cubi dei primi 1000 numeri naturali e, oltre al 7, non ne ho trovato altri con i requisiti richiesti. Ve ne è qualcuno che si avvicina; per esempio 585 al cubo dà 200201625: al centro c’è la testa incrementata di uno, ma la coda è completamente “sbagliata”. 
Si potrebbe obiettare che la filastrocca non impone che oltre a capo, coda e centro, il cubo del numero cercato  non contenga dell’altro. Per esempio, il numero 18241 si potrebbe pensare formato da capo e coda uguali ad 1 e nel centro il successore 2. Rimarrebbero l’8 e il 4 come cuscinetti generici. Direi senz’altro di scartare questa interpretazione debole dell’indovinello poiché farebbe perdere di interesse il problema che, a questo punto, avrebbe probabilmente infinite soluzioni.
Così come non ci sono dubbi che i versi “se il prodotto di cui sopra come inizia va a finire” non si riferiscono ad un numero palindromo (come 1234321) perché tale fatto non sarebbe compatibile con la richiesta che al centro ci sia la testa o la coda (quale delle due?) aumentata di uno.
L’ultima riflessione, di tipo non tecnico però, riguarda l’accenno, già nella prima strofa, ai presunti limiti nel calcolo mentale di una simbolica avvenente studentessa. Non se ne vogliano le giovani ragazze che alla matematica preferiscono altri passatempi meno noiosi e più appaganti: forse l’ironia dell’anonimo autore altro non cela che pura e semplice invidia per la loro affascinante spensieratezza. 

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