La circonferenza che si credeva un quadrato

L'uomo vitruviano di Leonardo,
Tratta da:
http://elisacarriero.blogspot.it/2013/
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  Le figure geometriche più famose sono senza dubbio il quadrato e la circonferenza. Vista la loro regolarità, risultano simpatiche anche a chi detesta tutto ciò che ha a che vedere con la matematica.

Sono figure altamente simmetriche, facili da riconoscere e da disegnare, che da sempre si contendono il ruolo di protagonista nel mondo dell'arte e della geometria.

Esistono diversi modi di definirle. Per la circonferenza il più conosciuto è quello che sfrutta il concetto di "luogo geometrico". Nessuno si spaventi; un luogo geometrico è solo un modo strano di indicare un insieme di punti che condividono una particolare proprietà. Si dice quindi che la circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso. Sappiamo bene che tale punto fisso viene chiamato centro e che la equi-distanza di ogni punto dal centro altri non è che il ben noto raggio. A volte si preferisce una definizione alternativa, che può aiutare a inquadrare la circonferenza come un caso particolare di un'importante famiglia di figure chiamate coniche. Si può pensare, cioè, alla circonferenza come alla sezione di un cono tagliato da un piano perpendicolare al suo asse.

Definire il quadrato come luogo geometrico risulta un po' forzato e normalmente si predilige una definizione meno diretta. Si usa dire che il quadrato è il poligono regolare di quattro lati, oppure che è il quadrilatero avente i quattro lati e i quattro angoli congruenti. Ma lo si può anche definire come il rombo con le due diagonali congruenti, il rettangolo avente le diagonali perpendicolari  o in tanti altri modi tutti equivalenti.

Il problema che in realtà mi incuriosisce è questo: in una fantomatica classifica in cui le figure geometriche sono elencate in ordine di importanza, viene prima il quadrato o la circonferenza?

Naturalmente il criterio con cui si stabilisce  questa importanza e si redige la graduatoria è assolutamente arbitrario e sindacabile. Però la sfida è questa: argomentare in modo convincente la propria scelta.

Nelle prossime righe, quindi, cercherò di dimostrare che il quadrato è enormemente superiore alla circonferenza e che quest'ultima non è che al primo gradino di una scala infinitamente alta alla sommità della quale rifulge il quadrato in tutto il suo splendore.

Partiamo dall'equazione che chiunque abbia almeno un'infarinatura di geometria analitica dovrebbe conoscere:  x² + y² - 1 = 0. E' l'equazione della circonferenza avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e il raggio uguale ad uno, visualizzata nel grafico seguente:

La circonferenza goniometrica: x² + y² - 1 = 0

Cosa succede se modifichiamo gli esponenti di x e di y lasciando invariato tutto il resto? In particolare proviamo a moltiplicare il due che c'è già per un numero naturale. Il che significa considerare equazioni di questa forma:

x²ⁿ + y²ⁿ  - 1 = 0

Se avete la possibilità di utilizzare un programma che visualizza i grafici delle curve algebriche provate a giocare un po' dando ad n valori sempre più grandi.

Ecco per esempio cosa succede per n=2 e per n=3

x⁴ + y⁴ - 1 = 0                                     x⁶ + y⁶ - 1 = 0

La circonferenza di raggio 1 si trasforma lentamente ma inesorabilmente nel quadrato di lato 2:

da       x² + y² - 1 = 0       a       x⁸ + y⁸ - 1 = 0

In realtà, per quanto n sia grande, la curva non rappresenterà mai un quadrato perfetto; gli angoli, visti al microscopio saranno sempre un po' arrotondati e, veramente, anche i lati non sono segmenti di retta ma continuano ad essere impercettibilmente curvilinei.

Ecco, ancora a titolo di esempio, cosa succede per n=20 e per n=50:

x⁴⁰ + y⁴⁰ - 1 = 0                                x¹⁰⁰ + y¹⁰⁰  - 1 = 0

Estendendo il concetto di limite alle equazioni, si può dire che per n che tende ad infinito la curva

x²ⁿ + y²ⁿ  - 1 = 0  rappresenta un quadrato.

Ecco perché, a mio avviso, la circonferenza può essere considerata solo il primo timido passo verso il quadrato: perfetto e irraggiungibile.

Forse andrebbe formalizzato meglio il modo in cui si definisce il limite di una equazione a due incognite, ma le cose si farebbero un po' troppo noiose. Almeno per oggi.

(Le immagini sono state ottenute con il programma KmPlot che è parte del progetto KDE-EDU: http://edu.kde.org/)